The present from father <3

A son confronts the resentment towards his father only to realise his true intentions.

Tồn tại nền toán học Việt nam!

Đó là một trong những “Định lí tồn tại” nổi tiếng nhất của một trong những nhà toán học nổi tiếng nhất của thế kỉ XX: Alexandre Grothendieck. Ông đã chứng minh “định lí tồn tại” nổi tiếng của mình không phải theo cách thường dùng để chứng minh các “định lí Grothendieck” nổi tiếng khác. Lần này, thế giới toán học được biết đến một phương pháp chứng minh mới của Grothendieck: ông chứng minh định lí trên bằng chuyến đi của mình dến miền Bắc Việt Nam trong thời kì ác liệt nhất của cuộc chiến tranh phá hoại của đế quốc Mỹ. Sau khi từ Việt nam trở về, tháng 11 năm 1967, Grothendieck đã viết một bài về chuyến đi của mình, kết thúc bằng câu :” Tôi đã chứng minh một trong những định lí quan trọng nhất của mình, đó là: Tồn tại một nền toán học Việt Nam”. Bài viết đó nhanh chóng trở thành nổi tiếng trong thế giới toán học, bởi vì bất cứ điều gì mà Grothendieck viết ra đều là điều mà mọi người làm toán quan tâm. Phải nói rằng, không phải Grothendieck chỉ “chứng minh” sự tồn tại của nền toán học Việt nam, mà chính ông đã góp phần vào “sự tồn tại” đó. Tôi hiểu điều này một cách rõ ràng khi, rất nhiều năm sau chuyến đi của Grothendieck, nhiều đồng nghiệp nước ngoài nói với tôi rằng, họ biết dến nền toán học Việt nam từ sau khi đọc bài viết của Grothendieck. Và cũng nhiều lần, tôi phải kể lại tường tận những gì tôi đã được chứng kiến, những gì Grothendieck đã làm trong chuyến đi thăm Việt nam. Bản thân sự kiện Grothendieck đến Việt Nam đã là điều đáng ngạc nhiên. Ông, người được trao giải thưởng Fields, người mà bất kì một trường đại học lớn nào cũng lấy làm vinh dự khi ông đến thăm, lại đi đến Việt nam đang dưới bom đạn ác liệt? Nhưng, để có thể hình dung tại sao những điều Grothendieck viết ra lại có ảnh hưởng to lớn như vậy trong thế giới toán học, xin được nói đôi lời về ông.

Alexandre Grothendieck là một trong những nhà toán học được nhắc đến nhiều nhất của thế kỷ 20. Dĩ nhiên người ta nhắc đến ông trước hết vì những đóng góp to lớn của ông cho toán học, nhưng cũng vì ông là một con người với thiên tài kì lạ, cá tính kì lạ. Mặc dù ông đã viết hơn 1000 trang hồi ký, người ta vẫn biết rất ít về cuộc sống riêng của ông! Bởi thế, nhiều điều trong tiểu sử của ông vẫn còn là bí ẩn, đôi khi chỉ là những “truyền thuyết”. Những điều tôi viết sau đây dựa rất nhiều vào những lời kể của một số bạn bè gần gũi của ông.

Alexandre Grothendieck không phải là người có một thời thơ ấu êm ả và thuận lợi. Cha ông họ là Shapiro (không rõ tên là gì), sinh khoảng năm 1890 trong một thị trấn nhỏ thuộc Nga, gần giao điểm của ba nước Nga, Ucraina, Bêlôruxia. Giòng họ Shapiro gồm những người Do Thái rất sùng đạo. Ông Shapiro tham gia vào phong trào cách mạng 1905 ở Nga, sau đó bị đày đi Xibêri hơn 10 năm trời. Ông được trả tự do năm 1917 khi cách mạng Tháng Mười Nga thành công, và là một trong những nhà lãnh đạo của Đảng Xã hội – cách mạng cánh tả. Lúc đầu ông đi với những người Bônsêvich, nhưng sau đó rời bỏ họ. Thời kỳ này ở Châu Âu có nhiều phong trào cách mạng: Rosa Luxemburg ở Berlin, các Xôviết ở Munich, nhóm cách mạng của Bela Kun ở Hungari. Nước Nga bước vào cuộc nội chiến với sự tham gia của nhiều lực lượng khác nhau, trong đó có phái vô chính phủ do Makhnô cầm đầu ở Ucraina (nhân đây, nhắc lại mục tiêu khá buồn cười của Makhnô “Đánh cho bon Đỏ trắng bệch, đánh cho bọn Trắng đỏ nhừ!”. Đỏ: Hồng quân; Trắng: Bạch vệ). Cha của Grothendieck tham gia vào tất cả các phong trào đó! Trong những năm 20 ông sống chủ yếu ở Đức, gia nhập các nhóm chính trị, vũ trang của các đảng cánh tả chống lại Hitler và bọn Quốc xã. Tại Đức, Shapiro gặp Hanka Grothendieck, một phụ nữ Do Thái đến từ miền bắc nước Đức. Ngày 28 tháng 3 năm 1928, họ sinh người con trai đặt tên là Alexandre. Chỉ ít lâu sau, Hitler lên cầm quyền, và từ năm 1933, nước Đức trở nên rất nguy hiểm đối với những nhà cách mạng Do Thái. Cha mẹ của Alexandre lánh nạn sang Pháp, để lại con trai mình trong một trường tư thục gần Hamburg. Năm 1936 cuộc nội chiến Tâybannha bùng nổ. Ông Shapiro tham gia trong đoàn quân chống phát xít Franco. Khi những người cộng hoà Tâybannha thất bại, ông bị đưa vào nhà tù ở Vernet, sau đó chuyển về trại tập trung Ausschwitz (Ôtsơvenxim) và chết tại đó năm 1942.

Hanka Grothendieck cùng với con trai Alexandre sống sót một cách may mắn trong một nước Pháp bài Do Thái dưới thời Thống chế Pêtanh. Họ được những người kháng chiến theo đạo Tin lành ở Cévennes che chở. Mục sư Trocmé, hiệu trưởng trường Lyxê Tin Lành ở Cévennes biến vùng đó thành trung tâm kháng chiến chống bọn chiếm đóng quốc xã. Alexandre Grothendieck được học và sống ngay trong trường đó.

Về thời kỳ đó, Grothendieck viết trong «Récoltes et semailles. Réflexions et témoignages sur un passé de mathématicien » : “Tôi học năm đầu lycée tr­ước hết ở Đức, sau đó ở Pháp. Năm 1940 là năm đầu tiên tôi học lycée bên Pháp. Lúc đó là chiến tranh. Mẹ tôi và tôi bị giam trong trại tập trung ở Rieucros, gần Mende. Tôi là đứa trẻ lớn nhất ở trại và là đứa duy nhất đi học lycée. Trời tuyết hay trời gió, tôi đi tới tr­ường với những đôi giày tạm, bị thấm nư­ớc. Mấy năm cuối chiến tranh, trong lúc mẹ tôi vẫn bị giam ở trại tập trung, tôi sống ở một nhà giành cho trẻ con tị nạn của “Secours Suisse” ở Chambon sur Lignon. Phần lớn bọn trẻ chúng tôi là ng­ời Do Thái, và khi cảnh sát địa ph­ương báo cho chúng tôi là bọn Gestapo sắp vây lùng, chúng tôi chạy vào rừng ẩn náu độ một hai đêm, đi từng nhóm hai hay ba ng­ười, không ý thức lắm về mối hiểm nguy chết ng­ười. Vùng Cévennes đầy những ng­ười Do Thái ẩn náu, và nhiều ng­ười sống sót nhờ tình đoàn kết của dân địa ph­ương. Ở đây, tôi đi học ở “Collège Cévenol” cho đến năm 1945. Giữa 1945 và 1948 tôi là sinh viên ở đại học Montpellier. Mẹ tôi và tôi sống ở xóm nhỏ Mairargner heo hút, cách Montpellier độ hơn chục cây số .Chúng tôi sống tằn tiện bằng cái học bổng sinh viên nghèo nàn của tôi. Để sống đ­ược qua ngày, mỗi hè tôi đi hái nho; và lại có cả cái vư­ờn nữa cho chúng tôi rau quả. Đó là một cuộc sống t­ươi đẹp, trừ khi phải đối mặt với những tiêu pha như­ thay gọng kính hay đôi giày mòn vẹt cả đế …”.

Sau hai năm học ở Montpellier, mùa thu năm 1948, Grothendieck được các thầy giáo giới thiệu lên Paris theo học ở Ecole Normale Superieure với Elie Cartan, một trong những nhà toán học nổi tiếng nhất thời đó. Đó là điểm kết thúc thời niên thiếu, và bắt đầu một thời kỳ vinh quang của Grothendieck, từ 1949 đến 1970.

Sau một năm ở Paris, Grothendieck chuyển đến Nancy, làm việc dưới sự hướng dẫn của Dieudonné. Thời kỳ này anh quan tâm nhiều đến Giải tích hàm. Bản luận án tiến sĩ quốc gia “Tích tenxơ tôpô và các không gian hạch” của Grothendieck, bảo vệ năm 1950, đã trở thành kinh điển, và là điểm khởi đầu cho lý thuyết hình học các không gian Banach. Cũng thời kỳ này, Grothendieck gia nhập nhóm Bourbaki, cùng với Henri Cartan, Dieudonné, André Weil và một số người khác.

Từ năm 1950, Grothendieck nhận được tài trợ của Trung tâm nghiên cứu khoa học quốc gia Pháp. Ông làm việc ở trường Đại học tổng hợp Sao Paulo (Braxin) trong hai năm 1953-1955, sau đó chuyển về Đại học Kansas (Hoa Kỳ). Chính trong thời kỳ này, mối quan tâm của ông chuyển từ Giải tích hàm sang Tôpô và Hình học. Năm 1956 ông trở về Pháp, làm Nghiên cứu viên của Trung tâm nghiên cứu khoa học quốc gia Pháp.

Năm 1959 đánh dấu một cái mốc quyết định trong sự nghiệp của Grothendieck. Đó là năm ông nhận một “ghế” ở Viện nghiên cứu khoa học cao cấp (Institut des Hautes Etudes Scientifiques, nổi tiếng với tên gọi tắt là IHES) vừa mới thành lập, đặt tại Bures-sur-Yvette, trong vùng thung lũng Essonne xinh đẹp gần Paris. Người ta thường nói, những năm Grothendieck ở IHES (1959-1970) là những năm vàng (Golden Age) của cuộc đời ông. Tại đây, dưới sự lãnh đạo của Grothendieck đã xuất hiện một trường phái mới của toán học. IHES trở thành trung tâm lớn nhất thế giới về Hình học đại số. Nhờ Grothendieck, Hình học đại số mang một diện mạo mới, sau thời kỳ phát triển hoàng kim của nó với “trường phái Italia” nổi tiếng (với những tên tuổi như Frobenius, Castelnuovo, Fano,…). Cùng với việc đưa vào khái niệm “lược đồ” (Scheme), Grothendieck “đại số hoá” những tư tưởng hình học rực rỡ của trường phái Italia, đưa đến cho hình học đại số những công cụ tính toán mạnh mẽ. Hơn thế nữa, các công trình của Grothendieck cho ta khả năng nhìn nhận toán học hiện đại trong một thể thống nhất: các định lý của ông là sự hợp nhất của hình học, số học, tôpô và giải tích phức.

Khó có thể liệt kê hết những gì mà Grothendieck đã mang lại cho toán học. Đó là tích tenxơ tôpô, không gian hạch, đối đồng điều bó như là các hàm tử dẫn xuất, lược đồ, K- lý thuyết, Định lý Grothendieck-Riemann-Roch, định nghĩa đại số của nhóm cơ bản của một đường cong, xác định cấu trúc hình học thông qua các hàm tử, phàm trù phân thớ, hình thức luận của đối ngẫu địa phương và toàn cục, đối đồng điều étale, đối đồng điều crystalline, mô tả các L-hàm trong ngôn ngữ đối đồng điều, các “môtip”,…Thật khó hình dung được rằng, tất cả những tư tưởng lớn như thế của toán học chỉ xuất hiện trong một cái đầu, và chỉ trong khoảng 10 năm! Điều xuyên suốt trong toàn bộ sự nghiệp của Grothendieck chính là cố gắng của ông nhằm “thống nhất” toàn bộ toán học, xoá nhoà ranh giới giữa hình học, đại số, số học, giải tích. Tư tưởng đó của Grothendieck có ảnh hưởng lớn trong sự phát triển của toán học hiện đại, và được thể hiện trong nhiều công trình của nhiều nhà toán học được giải thưởng Fields sau ông: Deligne, Drinfeld, Kontsevich, Voevodsky, Lafforgue, Ngô Bảo Châu.

Grothendieck đã góp phần làm cho IHES thực sự trở thành một trong vài ba trung tâm lớn nhất của toán học thế giới. Chỉ một chi tiết sau đây cũng cho ta thấy rõ điều đó: từ ngày thành lập đến nay, IHES mới có 10 người là “giáo sư chính thức” (professeur permanent) thì đã có 7 người đoạt giải Fields, đó là: Alexandre Grothendieck, René Thom, Jean Bourgain, Alain Connes, Pierre Deligne, Maxim Kontsevich, Laurent Laforgue.

Grothendieck đã làm một cuộc cách mạng thực sự trong toán học. Ông để lại dấu ấn của mình trong mọi lĩnh vực của toán học hiện đại. Người ta có thể nhận ra ảnh hưởng của Grothendieck ngay cả khi không thấy trích dẫn định lí cụ thể nào của ông. Điều này cũng giống như ảnh hưởng của Picasso đến thẩm mĩ của thời đại chúng ta: ta nhận ra Picasso không chỉ qua các bức hoạ của ông, mà thấy Picasso ngay trong hình dáng của những vật dụng hàng ngày.

Việc Grothendieck đột ngột rời bỏ IHES, và nói chung, rời bỏ toán học năm 1970, vào thời kì thiên tài của ông đang ở đỉnh cao, đã làm xôn xao giới toán học. Cho đến tận bây giờ, người ta vẫn không thật hiểu rõ tại sao. Nhiều người cho rằng ông không đồng ý với việc IHES nhận một số tiền tài trợ của các cơ quan quân sự (vào thời điểm đó, số tiền này là vào khoảng 3,5% ngân sách của Viện). Ông là người luôn có những quan điểm riêng của mình, và có thể là như nhiều người quan niệm, ông khá “ngây thơ” về chính trị. Giáo sư Louis Michel kể lại: có một lần, ông chỉ cho Grothendieck xem bản thông báo về một hội nghị quốc tế mà Grothendieck được mời làm báo cáo viên chính. Trong phần liệt kê các cơ quan tài trợ có NATO, và Michel hỏi Grothendieck xem có biết NATO là gì không, thì Grothendieck trả lời “không”! Sau khi được giải thích NATO là gì, Grothendieck đã viết thư cho ban tổ chức hội nghị để phản đối. Và cuối cùng, vì không muốn mất Grothendieck, ban tổ chức đành chịu mất NATO!

Vậy mà con người có vẻ như ngây thơ về chính trị, không biết NATO là gì, đã đến thăm và giảng bài tại Việt Nam trong thời gian chiến tranh. Một số người bạn gần gũi với ông, như giáo sư Pierre Cartier, cho rằng Việt Nam chính là một trong những nguyên nhân làm thay đổi quan niệm của Grothendieck. Nhìn thấy những gì chiến tranh mang lại cho loài người, Grothendieck nghi ngờ về ý nghĩa của khoa học. Ông cho rằng khoa học đã bị lợi dụng để làm hại loài người. Chuyến thăm Việt Nam của ông đã gây một tiếng vang lớn trong cộng đồng toán học quốc tế. Khi đến Việt nam (năm 1967), ông đọc bài giảng về Đại số đồng điều tại Hà Nội. Thường thì Giáo sư Tạ Quang Bửu (lúc đó là Bộ trưởng Bộ Đại học và Trung học chuyên nghiệp) hoặc Giáo sư Đoàn Quỳnh phiên dịch cho ông. Người ta thật sự kinh ngạc vì sự bình tĩnh của ông: các bài giảng của ông thường bị ngắt quãng vì những lần máy bay Mỹ bắn phá thành phố. Vậy mà ông, người đến từ một đất nước đã từ lâu không có chiến tranh, không hề tỏ ra mảy may lo sợ. Nhưng rồi thì các bài giảng của ông cũng phải chuyển lên khu sơ tán, vì không thể nào giảng bài khi mà buổi học bị ngắt quãng hàng chục lần vì máy bay. Ở khu sơ tán, có một hình ảnh về ông mà không bao giờ tôi quên. Đó là có một lần, tôi thấy ông cởi trần ngồi đọc sách, cái áo ướt màu “phòng không” (tên gọi của “màu cỏ úa” thời chiến tranh) vắt trên bụi sim. Hỏi ra mới biết, ông giành toàn bộ va li của mình để mang theo sách vở sang tặng các nhà toán học Việt nam, và chỉ có bộ quần áo duy nhất mặc trên người! Vậy nên mỗi lần giặt, ông phải chờ quần áo khô để mặc lại chứ không có quần áo để thay! Trong thời gian ông ở Việt Nam, mỗi tuần ông đều nhịn ăn ngày thứ sáu. Khi các nhà toán học Pháp biết chuyện, họ đều rất ngạc nhiên vì không thấy ông có thói quen đó khi ở Pháp. Và người ta cho rằng chỉ có thể có một cách giải thích: ông muốn tiết kiệm một phần lương thực cho Việt Nam! Theo lời ông nói, chuyến đi Việt Nam đã làm ông thật sự ngạc nhiên: ở một đất nước ngày đêm phải đối đầu với cuộc chiến tranh ác liệt bậc nhất trong lịch sử, người ta vẫn dạy toán, học toán, và biết đến những thành tựu hiện đại nhất của toán học! Từ sự ngạc nhiên đó, ông đã công bố “định lí” của mình trong bài viết về chuyến thăm Việt Nam (được lưu hành rất rộng rãi thời đó ở các trường đại học phương Tây): “Tồn tại một nền toán học Việt Nam“.

“Định lí” trên đây của Grothendieck đã làm thế giới toán học biết đến nền toán học Việt nam trong chiến tranh. Chuyến đi của Grothendieck đã mở đầu cho một loạt chuyến đi thăm và giảng bài của nhiều nhà toán học lớn đến Việt Nam, trong đó nhiều nhất vẫn là các nhà toán học Pháp: L. Schwartz, A. Martineau, P. Cartier, B. Malgrange, Y. Amice,…Có thể nói chuyến đi của Grothendieck là một cột mốc quan trọng trong lịch sử hợp tác khoa học giữa các nhà toán học Việt nam và các nhà toán học Pháp.

Từ sau năm 1993, Grothendieck không còn địa chỉ bưu điện nữa, không ai có thể liên lạc với ông, ngoại trừ một số người bạn gần gũi. Ông sống trong một căn nhà nhỏ bên sườn dãy Pyrénées. Có lẽ bộ óc lớn bậc nhất của toán học đó đang muốn giành thời gian suy ngẫm về cuộc đời. Cả cuộc đời ông là một chặng đường gian nan đi tìm chân lý. Nếu như các chân lý toán học tìm đến với ông nhiều một cách đáng ngạc nhiên, thì trong cuộc đời, như Cartier nói, Grothendieck không tìm được cho mình một chỗ mà ông thấy thoả mãn. Trong rất nhiều năm, ông không phải là công dân của một quốc gia nào, và đi khắp nơi trên thế giới với tấm hộ chiếu của Liên hợp quốc. Xuất thân trong một gia đình Do Thái giáo truyền thống, Grothendieck được những người kháng chiến theo đạo Tin Lành che chở, và cuối cùng, ông quan tâm nhiều đến Phật Giáo. Ông luôn sống theo những nguyên tắc của riêng mình, và nhiều khi cảm thấy thất vọng trước cuộc sống.

Cuộc đời Grothendieck là một cuộc đời đầy vinh quang, đầy bi kịch, mang đậm chất “tiểu thuyết”, mà trong một bài viết nhỏ không thể nào nói hết được.
Nguồn: https://hahuykhoai.wordpress.com/

Hệ mặt trời sẽ xụp đổ như thế nào (Thiên văn vũ trụ)

Cũng như mọi thiên thể khác, một ngày nào đó mặt trời sẽ lụi tàn. theo kết quả tính toán bằng mô hình, nghiên cứu các bầu khí quyển hành tinh và các chu kì sinh địa hóa, thi vào khoảng 8 tỉ năm nữa, hệ mặt trời sẽ chấm dứt sự tồn tại.

Trong 8 tỷ năm ấy, hệ mặt trời sẽ có những biến động gì? Mô hình nói trên của các nhà khoa học Mỹ cho thấy: Sau 400 triệu năm, Trái Đất sẽ tắm trong một độ sáng mặt trời mạnh hơn 5% so với hiện nay. Từ thời điểm đó, nhiệt độ trung bình trên bề mặt Trái Đất lên tới 20^0C (hiện nay là 15^0C), và đặc biệt tỉ lệ CO_2 trên khí quyển làm cho hơn 60% thực vật và động vật trên Trái Đất biến mất, số còn lại buộc phải tiến hóa để thích nghi.

Sau 800 triệu năm, trên Trái Đất độ sáng của Mặt Trời tăng 8%. Tỷ lệ CO_2 trong khí quyển chỉ còn 10-20ppm (10-20 phần triệu), do đó chỉ còn sót lại một số rất ít thực vật (có lẽ chỉ còn lại ccas loại cây cần ít CO_2 cho quá trình quang hợp như các họ cây bắp, cây mía,…) và rất ít động vật. Nhiệt độ trung bình bấy giờ là 25^oC.
Read the rest of this entry

Nice broblem about concurrent

Let ABC and A_1B_1C_1 satisfy that:
1. \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{A_1C_1}
2. AA_1, BB_1, CC_1 are concurrent.
Prove that if these point A_2, B_2, C_2 in the plane satisfy \overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{B_1B_2}=\overrightarrow{C_1C_2} = k\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right) then AA_2, BB_2, CC_2 are concurrent

Đề thi Serbian

Ngày 1-12/4/2012
\boxed1 Cho tam giác ABC,kí hiệu \alpha=\angle BAC,\beta=\angle ABC.Giả sử phân giác của 2 góc trên cắt cạnh đối diện tại DE.Chứng minh rằng góc nhọn tạo bởi DEAB không quá \frac{|\alpha-\beta|}{3}

 

\boxed2 Tìm số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho 2009 mà có tổng các chữ số bằng 2009.

 

\boxed3 Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho tổn tại n tập hợp khác nhau S_1,S_2,...,S_n thỏa mãn

i, |S_i\cup \ S_j|\leq 2004 với mọi 1\leq i,j\leq n

 

ii, S_i \cup S_j \cup S_k=\{ 1,2,...,2008\}  với mọi bộ ba (i,j,k) nguyên dương thỏa mãn 1\leq i<j<k\leq n

Ngày 2-13/4/2009

\boxed4 Cho n là số tự nhiên và A_n là tập tất cả các hoán vị của (a_1,...,a_n) của tập \{ 1,2,...,n \}.Biết rằng k|2.(a_1+...+a_k) với mọi 1\leq k\leq n

Tìm |A_n|

 

\boxed5 Với x,y,z là các số nguyên dương thỏa mãn xy+yz+zx=x+y+z.

Chứng minh bất đẳng thức

\dfrac{1}{x^2+y+1}+\dfrac{1}{y^2+z+1}+\dfrac{1}{z^2+x+1} \le 1

\boxed6 Cho (S) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.(S) tiếp xúc BC,CAAB lần lượt tại P,Q,R.Đường thẳng QR cắt BC tại M.Một đường tròn qua BC tiếp xúc với (S) tại N.Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP cắt AP tại L,khác P.

Chứng minh rằng S,L,M thẳng hàng

 

Mannheim’s theorem

Theorem 1. (Mannheim’s theorem 1) Let a triangle ABC. M,N,P
are on BC,CA,AB, respectively. I is the common point of three circles (APN),(BMP),(CMN). A_{1},B_{1},C_{1} is on (APN),(BMP),(CMN), respectively.

Prove that:

1. AA_1\|BB_1\|CC_1\Leftrightarrow A_1,B_1,C_1,I are collinear.

2. AA_1,BB_1,CC_1 are concurrent \Leftrightarrow A_1,B_1,C_1,I are concyclic.

Proof.

AA'\|BB'\Leftrightarrow (BP;BB')\equiv (AP;AA')\equiv (IP;IA')(mod\pi  ) \Leftrightarrow A';B';I are collinear.

Similarly, BB'\|CC' \Leftrightarrow B';I;C' are collinear.

So, we have AA' \|BB' \|CC \Leftrightarrow A',B',C',I are collinear.

Theorem 2: (Mannheim’s theorem 2) Let a trapezoid ABCD with AB\|CD. M is a arbitrary point on BC. According to the Reim’s theorem, we have (MAB) intersecs (MCD) again at N on BC. A',B';C' is on AD,(MAB),(MCD), respectively. Denote d_{a} is the line through A' and parallels AB. Then d_{a},BB';CC' are concurrent \Leftrightarrow A';B';C';N are concyclic.

Proof

Denote K is the intersection of BB' and d_a.

d_a, BB', CC' are concurrent \Leftrightarrow K;C';C are collinear \Leftrightarrow(C'N;C'K)\equiv (DN;DC)\equiv (A'A;A'K)\equiv (B'N;B'K) (mod\pi)\Leftrightarrow A';B';C';K are concyclic.

Bài thơ số 28 của Tago

Đôi mắt băn khoăn của em buồn,

Đôi mắt em muốn nhìn vào tâm tưởng của anh

Như trăng kia muốn vào sâu biển cả. Anh đã để cuộc đời anh trần trụi dưới mắt em,

Anh không dấu em một điều gì

Chính vì thế mà em ko biết gì tất cả về anh.

Nếu đời anh chỉ là viên ngọc

anh sẽ đập nó ra làm trăm mảnh

và xâu nó một chuỗi

quàng vào cổ em

Nếu đời anh chỉ là một đóa hoa

tròn trịa, dịu dàng và bé bỏng

anh sẽ hái nó ra để đặt lên mái tóc em.

Nhưng em ơi, đời anh là một trai tim

Nào ai biết chiều sâu và bến bờ của nó.

Em là nữ hoàng của vương quốc đó

Ấy thế mà em có biết gì biên giới của nó đâu.

Nếu trái tim anh chỉ là một phút giây lạc phú

Nó sẽ nở ra thành một nụ cười nhẹ nhõm

Và em thấu suốt rất nhanh.

Nếu trái tim anh chỉ là khổ đau

Nó sẽ tan thành lệ trong

Và lặng im phản chiếu nỗi niềm u ẩn.

Nhưng em ơi trái tim anh lại là tình yêu

Nỗi vui sướng, khổ đau của nó là vô biên.

Những đòi hỏi và sự giàu sang của nó là trường cửu.

Trái tim anh cũng ở gần em như chính đời em vậy

Nhưng chẳng bao giờ em biết trọn nó đâu.

Truyện: “Nhất định tớ sẽ lấy cậu”

Tác giả: Nhím.

Thể loại: Tình cảm tuổi teen.

“- Không được đâu, cậu phải chơi với tớ…..

-Tại sao tớ phải chơi với cậu chứ…không thích

– không được, cậu phải chơi với tớ, nếu không thì tớ biết chơi cùng ai chứ.!!! Đi mà làm ơn đi mà…

– Không!!!!! Chơi với con gái phiền phức lắm, suốt ngày mè nheo..

– Tớ sẽ không mè nheo.

– …khóc nhè????

– tớ cũng sẽ không khóc.

– Thôi. Tóm lại tớ sẽ không chơi cùng con gái đâu….

Cậu bé đẹp trai trắng trẻo nói rồi quay người bước đi bỏ lại cô bé thắt bím hai bên đang ngồi bệt dưới đám cỏ với hai hàng nước mắt lưng tròng. Đột nhiên, cô bé đứng phắt dậy, rồi nhanh như cắt, tóm lấy cổ cậu bé cứng đầu đang đi đằng trước kia mà hét:

– Nếu cậu nhất quyết không chơi với tớ, sau này nhất định tớ sẽ lấy cậu…..

– Cái gì hả, không, tớ sẽ không lấy cậu đâu. Cậu…dữ như hổ ấy, ai mà thèm lấy cậu chứ.Cậu bé 5 tuổi nghe cô bé đáng yêu kia doạ hoảng hồn quay lại.

Thế rồi 2 đứa bé 5 tuổi ấy cứ đuổi nhau chạy khắp đám cỏ, qua hết bụi cây này đến bụi cây khác. Một đứa thì cứ lắc đầu ngoầy ngoậy. Đứa kia thì cứ đuổi theo sau đe doạ. Tiếng cười nói khúc khích của hai đứa trẻ hoà cùng ánh nắng chiều với những cơn gió nhẹ thoang thoảng bay cùng chúng lớn dần theo năm tháng…”

*****

Read the rest of this entry

THTT T10/414

Problem:

Solution:

Nhận thấy bất đẳng thức này đối xứng với ab, mặt khác bất đẳng thức này có dấu bằng xảy ra tại tâm (với mọi k), nên ý tưởng của ta sẽ là tách nhân tử a - b ra ngoài.

\displaystyle{(1) \Leftrightarrow k. \left(\frac{1}{a^3 + b^3} - \frac{4}{(a+b)^3}\right) + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} - \frac{16}{a^3 + b^3} \ge 0}

\Leftrightarrow \displaystyle{\frac{-3k(a+b)(a-b)^2}{(a^3 + b^3)(a+b)^3} + \frac{(a^3 + b^3)(a+b)^3 - 16a^3b^3}{a^3b^3(a+b)^3} \ge 0}

\Leftrightarrow \displaystyle{\frac{-3k(a+b)(a-b)^2}{(a^3 + b^3)(a+b)^3}} \displaystyle{+ \frac{(a-b)^2\left((a^2 + ab + b^2)^2 + 3ab((a + b)^2 + ab)\right)}{a^3b^3(a+b)^3} \ge 0}

\Leftrightarrow \displaystyle{(a-b)^2\left(\frac{(a^2 + ab + b^2)^2 + 3ab(a^2 + 3ab + b^2)}{a^3b^3} - \frac{3k(a+b)}{a^3 + b^3}\right) \ge 0}

(a - b)^2 \ge 0 nên ta chỉ cần tìm k sao cho bất đẳng thức

\displaystyle{\frac{(a^2 + ab + b^2)^2 + 3ab(a^2 + 3ab + b^2)}{a^3b^3} - \frac{3k(a+b)}{a^3 + b^3} \ge 0}

luôn đúng với mọi a, b là số thực dương.

tức là k thỏa mãn \displaystyle{\frac{((a^2 + ab + b^2)^2 + 3ab(a^2 + 3ab + b^2))(a^2 - ab + b^2)}{a^3b^3} \ge k}

từ đây dễ dàng thấy vế trái lớn hơn hoặc bằng 8, như vậy để đúng với mọi k thì k \le 8.

Lý luận trên cũng chứng tỏ rằng với k = 8 thì bất đẳng thức đã cho đúng với mọi a, b

Do đó max k = 8

About IMO 2011, problem 6 (bản dịch)

Tác giả: Nguyễn Văn Linh

Người dịch: Ong Thế Phương

Hôm nay, chúng ta sẽ trở lại một bài toán thú vị, bài toán như sau:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn \Gammal là một tiếp tuyến của \Gamma. l_a, l_b, l_c là các đường thẳng đối xứng với l qua BC, CA, AB lần lượt. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác tạo bởi ba đường thẳng l_a, l_b, l_c tiếp xúc với \Gamma

Chứng minh:

Kí hiệu D, E, F là giao điểm của l với BC, CA, AB lần lượt. Và X, Y, Z là giao điểm của ba đường thẳng l_a, l_b, l_c.

Gọi L là tiếp diểm của \Gamma với l; gọi R, S, T là các điểm đối xứng với L qua AB, AC, BC; M là điểm Miquel của tứ giác toàn phần XSRYTZ

$latex \angle{ZXY} = \angle{FEX} + \angle{EFX} = 180^0 – 2\angle{LEC} + 2\angle{LFA} = 180^0 – 2\angle{BAC}$

Vì khoảng cách từ A xuống l, FY, XZ bằng nhau nên XA là phân giác của \angle{ZXY}

Từ đó nhận được: \angle {ZXA} = \frac{1}{2}\angle {ZXY} = 90^0 - \angle{BAC}. (1)

Mặt khác, gọi U,V là hình chiếu của L lên AC, AB thì $PQ$ đi qua trung điểm của LQ

Ta có: \angle {ARL} = \angle{ARL} = 90^0 - \angle{LUV} = \angle{UQL} điều đó cho ta L, A, Q, R đồng viên. Như vậy: \angle{ARQ} = \angle{LRQ} - \angle{LRA} = 180^0 - \angle{LAQ} - 90^0 + \angle{LAB} = 90^0 - \angle{BAC}.(2)

Từ  (1)(2) ta nhận được: A \in (XRS). Tương tự với B, C

Vậy thì:

\angle{AMB} = \angle{XMY} - \angle{XMA} - \angle{BMY} = 2\angle{ACB} - \angle{XRA} - \angle{YRB}

= 2\angle{ACB} - 180^0 + \angle{ARB} = 2\angle{CAB} - 180^0 + \angle{ALB} = \angle{ACB}

Như vậy M \in \Gamma.

Dựng tiếp tuyến Mt của (XYZ). Chúng ta sẽ chứng minh Mt cũng là tiếp tuyến của \Gamma bằng cách chỉ ra rằng: \angle{tMA} = \angle{ABM}

\Leftrightarrow \angle{AMX} + \angle{XMt} = \angle{ABR} + \angle{RBM}. (3)

Nhưng: \angle{XMt} = \angle{XYM} = \angle{RBM}, \angle{AMX} = \angle{ARX} = \angle{ALE} = \angle{ABL} = \angle{ABR}

Do đó: (3) đúng (đpcm)

Tổng quát (Trần Quang Hùng):

Cho tam giác ABC và điểm P. Một đường thẳng qua P và cắt các đường tròn (PBC), (PCA), (PAB) lần nữa tại các điểm P_a, P_b, P_c lần lượt. Gọi l_a, l_b, l_c là các tiếp tuyến của (PBC), (PCA), (PAB) tại P_a, P_b, P_c lần lượt. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác tạo bởi l_a, l_b, l_c tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Khi P \equiv H, H là trực tâm của tam giác $latec ABC$ chúng ta có bài toán số 6 trong kì thi IMO52.

Chứng minh:

Gọi X, Y, Z là đỉnh các tam giác tạo bởi l_a, l_b, l_cQ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần XYZP_aP_bP_c.

R là giao điểm của AP_c, CP_a.

\angle{ZXY} = \angle{FEX} + \angle{EFX} = 180^0 - 2\angle{LEC} + 2\angle{LFA} = 180^0 - 2\angle{BAC}

Ta sẽ chứng minh L \in (ABC).

Ta có: \angle{P_cAB} + \angle{P_aCB} = \angle{P_cPB} + \angle{P_aPB} = 180^0 nên A, B, C, R đồng viên.

\angle{AQC} = \angle{AQP_b} + \angle{CQP_b} = \angle{P_bP_cA} + \angle{P_bP_aC} = 180^0 -\angle{ARC} = \angle{ABC}

Nên Q \in (ABC).

Dựng tiếp tuyến Qt của (XYZ). Ý tưởng của ta là chứng minh Qt cũng là tiếp tuyến của (ABC)  bằng cách chỉ ra: \angle{tQA} = \angle{ACQ}

\Leftrightarrow \angle{tQX} + \angle{XQA} = \angle{ACP_b} + \angle{P_bCQ} (*).

Nhưng: \angle{tQX} = \angle{QZX} = \angle{QCP_b}, \angle{XQA} = \angle{XP_bA} = \angle{QCP_b} nên (*) đúng. Ta có kết luận của bài toán tổng quát.